# Logarithms: Theory and Practice

Before beginning, let us first understand why logarithm! Logarithm is one of the most powerful tool of mathematical branch which is used completely in all branches of science for the purpose of scientific advancements.

INTRODUCTION: a quantity representing the power to which a fixed number (the base) must be raised to produce a given number. Example: $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{e}}}\mathsf{50}$$ , $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{10}}}\mathsf{5}$$  ……

GENERAL NOTATION :$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b}$$

Where a is the base of the function and $$\mathsf{a>0}$$  and a is not equal to 1.

And $$\mathsf{b>0}$$ .

Logarithms are basically the “opposite” (or inverse) of exponentiation. The little “b” in the following notation is called the base of the logarithm, and we always require b > 0 and b ≠ 1.

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{x=y}$$     means       $$\mathsf{x=}{{\mathsf{b}}^{\mathsf{y}}}$$ .

There are a couple of bases that are incredibly important: 10 and e.

• Logarithm base 10 is called common logarithm. The usual notation for common log is to omit the base completely.$$\mathsf{logx=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{10}}}\mathsf{x}$$ . So if you don’t see a base mentioned, you can safely assume it’s a common log.
• We use the base e ≈  2.71828 in the natural logarithm. The notation for natural log is “ln”.   $$\mathsf{lnx=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{e}}}\mathsf{x}$$

Summarisation of logarithm rules or log rules:

If M > 0, N > 0, a > 0, b > 0 and a ≠ 1, b ≠ 1 and n is any real number, then

(i) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{1=0}$$

(ii) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{a=1}$$ $latex$

(iii) $${{\mathsf{a}}^{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M}}}\mathsf{=M}$$

(iv) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(MN)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$     (Product Rule)

(v) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(M/N)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M-lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$

(vi) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}{{\mathsf{M}}^{\mathsf{n}}}\mathsf{=nlo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M}$$

(vii) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M=(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{M)(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b)}$$

(viii) $$\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b)(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{a)=1}$$

(ix) $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b=1/lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{a}$$

Solution 1:   Firstly after looking at the question above, it should be a striking factor that 144 is the same common term in both the parts of the equation.  And also the second thing is that we should convert it in the numerator form so as to simplify the equation. Use the formulae:

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{a=(1/lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b)}$$

This simplifies our original equation to: $$\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{144}}}\mathsf{3)+(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{144}}}\mathsf{48)}$$. Here again, the common term 144 is the base of the function.

So using the product rule     $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(MN)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{144}}}\mathsf{(48\times 3)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{144}}}\mathsf{144=1}$$ (because $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{a=1}$$).

EXAMPLE 2:   If  $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x))}$$  $$\mathsf{=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{y))}$$ $$\mathsf{=0}$$, then the value of the arithmetic mean of x and y is:

Solution 2:      Divide the question into two parts:

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x))}=0$$  and  $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{2}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{y))=0}$$

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x)=}{{\mathsf{2}}^{\mathsf{0}}}$$ and $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{y)=}{{\mathsf{2}}^{0}}$$

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x)=1}$$ and$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{y)=0}$$

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x=}{{\mathsf{2}}^{\mathsf{1}}}$$           and  $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{y=}{{\mathsf{3}}^{\mathsf{1}}}$$

$$\mathsf{x=}{{\mathsf{3}}^{\mathsf{2}}}$$                  and   $$\mathsf{y=}{{\mathsf{2}}^{\mathsf{3}}}$$

$$\mathsf{x=9}$$                   and   $$\mathsf{y=8}$$

EXAMPLE 3:  Find the value of $${{\mathsf{x}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{-}{{\mathsf{y}}^{\mathsf{2}}}$$  in the below problem if $$\mathsf{x>y}$$ ?

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{y=2+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{2}$$  and       $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{27}}}\mathsf{(x+y)=2/3}$$

Solution 3:   $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{y=2+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{2}$$

Here since the base is same we can apply the product rule due to addition sign ($$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(MN)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$ )

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(xy)=2+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{2}$$

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(xy)-2=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{2}$$

Again here the base is same apply the quotient law due to negative sign

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{(}\frac{\mathsf{xy}}{\mathsf{2}}\mathsf{)=2}$$

$$\mathsf{(xy)/2=9}$$

$$\mathsf{xy=18}$$

Now the second equation:
$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{27}}}\mathsf{(x+y)=2/3}$$

$$(x+y)={{27}^{2/3}}$$

Hence we have got the two equations

$$\mathsf{x+y=9}$$

$$\mathsf{xy=18}$$

Which turns out to be x=6 and y=3 since (x>y).

So $${{\mathsf{x}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{-}{{\mathsf{y}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{=27}$$ .

EXAMPLE4:  If the value of  $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{+}\sqrt{\mathsf{18}}\mathsf{))=1/3}$$. For all x>0 and x not equal to 1.Find the value of x.

SOLUTION 4: Here first simplify the inner logarithmic expression.

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{+}\sqrt{\mathsf{18}}\mathsf{)}$$

Clearly, $$\sqrt{\mathsf{18}}\mathsf{=}\sqrt{\mathsf{(2)(3)(3)}}\mathsf{=}\sqrt{\mathsf{(}{{\mathsf{3}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{)(2)}}\mathsf{=3}\sqrt{\mathsf{2}}$$

Hence, $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{+}\sqrt{\mathsf{18}}\mathsf{)}$$$$\mathsf{=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{+3}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(4}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{)}$$.

Now, $$\mathsf{4}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{=}\sqrt{\mathsf{(4)(4)(2)}}\mathsf{=}\sqrt{\mathsf{32}}$$ .

So,$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(4}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{32}}\mathsf{)}$$

= $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}{{\mathsf{(32)}}^{\mathsf{1/2}}}$$

= $$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{32)}$$   (by rule $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}{{\mathsf{M}}^{\mathsf{n}}}\mathsf{=nlo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M}$$ )

= $$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$$   (by rule $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{a=1}$$ )

Our original equation $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{(lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{32}}}\mathsf{(}\sqrt{\mathsf{2}}\mathsf{+}\sqrt{\mathsf{18}}\mathsf{))=1/3}$$ simplifies to

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{(1/2)=1/3}$$

So,$${{\mathsf{x}}^{\mathsf{1/3}}}\mathsf{=1/2}$$ .

On cubing both the sides

$$\mathsf{x=1/8}$$ .

Example 5 : Simplified value of

$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{z+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{x}}\mathsf{+}$$ $$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{y+log}{}_{\mathsf{x}}\mathsf{z}}$$ $$\mathsf{+}$$ $$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{x+log}{}_{\mathsf{z}}\mathsf{y}}$$

is :

Solution 5: First of all, we must simplify all the denominators.

$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{z+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{x}}\mathsf{+}$$$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{y+log}{}_{\mathsf{x}}\mathsf{z}}$$+$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{x+log}{}_{\mathsf{z}}\mathsf{y}}$$

$$\mathsf{1=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{x=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{y=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{z}$$  (by rule $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{a=1}$$).

$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{y+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{z+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{x}}$$ +$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{y+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{z}}$$ +$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{z+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{y}}$$

Now using the product rule since the base is same in all the three denominators of the expression and due to the addition (plus) sign.($$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(MN)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$)

$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{xyz}}\mathsf{+}\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{xyz}}\mathsf{+}\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{xyz}}$$

Again, abc is the common term, so by using the base changing rule ($$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{b=1/lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{b}}}\mathsf{a}$$)

$$\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{y}}}\mathsf{xyz}}\mathsf{+}\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{x}}}\mathsf{xyz}}\mathsf{+}\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{z}}}\mathsf{xyz}}$$$$\mathsf{=}$$  $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{y+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{z}$$

Here once again product rule applied to get

$$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{y+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{x+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{z}$$ $$\mathsf{=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{xyz}}}\mathsf{xyz=1}$$  (as $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{a=1}$$)

## Summary

Logarithms are inverse to exponentiation. They satisfy many remarkable properties.

Some of the most important properties involve multiplication, division, and exponents:

1. Product Rule:     $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(MN)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M+lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$
2. Quotient Rule:   $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{(M/N)=lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M-lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{N}$$
3. Power Rule:         $$\mathsf{lo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}{{\mathsf{M}}^{\mathsf{n}}}\mathsf{=nlo}{{\mathsf{g}}_{\mathsf{a}}}\mathsf{M}$$

The logarithm function has domain all positive numbers, and range all real numbers.

The properties and concepts can be summarized in the form of image below:

With these fundamental rules and properties at hand, you’ll be well-prepared to tackle even the most challenging CAT logarithm questions!